学部
フーリエ解析
01専門基礎科目：数学
フーリエ解析
| 開講学期： | 前期 | 標準配当年次： | 2年次 |
|---|---|---|---|
| 科目種別： | 選択科目 | 単位数： | 2 |
| 担当教員： | 渡部 繁, 神谷 徳昭, 木原 浩, 前田 多可雄, 渡邊 曜大, 本田 親寿, 渡部 俊朗 | ||
授業の概要
本講義では、一学年に学んだ微分積分の続きであり、解析学の基礎であるフーリエ解析について学習する。フーリエ解析は、フーリエによる熱伝導の研究が出発点であるが、思想的にはギリシャのピタゴラスによる音楽理論にはじまる。音や光などの波動の研究が関係しており、理工学において幅広く利用されている。コンピュータサイエンスにおいてもフーリエ解析（ラプラス変換を含む）は、システム理論、信号処理や通信理論の理解に欠かせない。むしろ、フーリエ解析なくしてこれらを学問的に扱うのは不可能である。フーリエ解析は、信号を多くの正弦波の重ね合わせとしてみる。またフーリエ解析の画像や波形の工学的応用アルゴリズムは、ディジタル信号処理の中で位置づけられる。数学の歴史では、フーリエ解析は、複素関数論とともに、近代解析学が生まれる一つの契機となった。フーリエ変換は、複素関数の演算に利用することも頻繁に行われている。
授業の目的と到達目標
本授業では、歴史的な発展にはふれないが、できるだけ応用に触れる形で行う。また演習問題を適宜出題するので、それの解答をレポートとして提出してもらう。
学生諸君は、一学年時の線形代数や微分積分を復習しつつ、工学の学習内容と関連させつつ、学習していただきたい。これらを真に学ぶことなくして、コンピュータサイエンスやコンピュータエンジニアリングを深く専攻することは不可能である。本授業は、真剣に大学の学術を学ぼうとする姿勢の学生にとって有意義なものとなるであろう。
授業スケジュール
[岡]
第０回 講義の目的
第１回 基本概念
第2回 フーリエ級数展開
第3回 フーリエ変換
第4回 フーリエ変換のための複素積分
第5回 コンボルーション
第6回 パワースペクトルと自己相関関数
第7回 フーリエ変換の性質
第8回 ラプラス変換
第9回 離散的フーリエ変換 (DFT)+FFT
第10回 サンプリング定理
第11回 フーリエコサイン変換
第12回 フーリエ変換の応用例（その1）
第13回 フーリエ変換の応用例（その２）
第14回 フーリエ級数のディクレーの定理
第15回 複素フーリエ変換の計算
[前田]
1. イントロダクション、
2. 直交関数系、フーリエ級数
3. 任意区間のフーリエ級数、複素フーリエ級数、ベッセルの不等式
4. 演習
5. フーリエ係数、フーリエ級数の収束条件
6. フーリエ級数の収束、パーセバルの等式
7. 演習
8. フーリエ積分、フーリエ変換の性質 、フーリエ積分の収束、
9. 合成積（たたみこみ） 、パーセバルの等式
10. 演習
11. ラプラス変換と定数係数常微分方程式の解法
12. 離散的フーリエ変換とFFT
13. 演習
授業で使う教科書
岡： 配布資料のみ。
前田：洲之内源一郎：フーリエ解析とその応用（サイエンスライブラリ、理工系の数学１２）、サイエンス社、及び配布資料
成績評価の方法・基準
岡：配布資料の問題（18題を解いてレポート提出する。１題について２点の評点）、中間試験、期末試験（各１００点満点）の合計点（２３６点満点）から最終評点をつける。
前田：講義毎の小テスト及び演習毎のレポート2点×13回=26点+期末試験（１００点満点）の合計点（１２６点満点）から最終評点をつける。
履修上の留意点
先修科目：M-3 微積分I又はM-4 微積分 II, M-1 線形代数 I又はM-2 線形代数 II
重要な関連科目：M-4 ディジタル信号処理、A-3 画像処理学
参考
岡：「フーリエの冒険」,ヒッポファミリークラブ、3,500円＋税
前田：「フーリエの冒険」,ヒッポファミリークラブ、3,500円＋税
金谷健一著「これならわかる応用数学教室」,共立出版、2,900円＋税